附錄 A：學霸的試煉——複數座標運算精要

在柳辰的工具箱裡，這三個運算技巧是通往高階數學的鑰匙：

1. 複數的除法（共軛法）：

   要處理 $\frac{1+i}{1-i}$，關鍵在於分母的「實數化」。

   $$\frac{1+i}{1-i} \cdot \frac{1+i}{1+i} = \frac{(1+i)^2}{1^2 - i^2} = \frac{2i}{2} = i$$

   幾何意義：這代表將向量 $(1, 1)$ 對向量 $(1, -1)$ 進行相對旋轉與縮放，結果剛好轉到了虛軸的正向。

2. 單位根的對稱性：

   方程式 $z^n = 1$ 的解，在複數座標平面上構成一個頂點在單位圓上的正 $n$ 邊形。這揭示了空間中完美的離散對稱性。

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附錄 B：技術前瞻——複數座標與人工智慧（CVNNs）

柳辰敏銳地觀察到，傳統的神經網路主要處理實數。然而，最新的 複數值神經網路 (Complex-Valued Neural Networks) 正在改變遊戲規則：

• 相位的學習：在處理雷達影像或核磁共振（MRI）數據時，訊號的相位資訊至關重要。複數神經網路能直接在複數空間中進行權重運算，這比將實部虛部拆開處理具有更高的資訊效率。

• 非線性激活：在複數座標中，激活函數（如 $ModReLU$）能保持相位的穩定同時壓縮振幅，這模擬了人類大腦處理波動資訊的某種機制。

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附錄 C：抒情結語——《虛數之詩》

文／柳辰

有人說，你是想像出的虛幻，

是一場無解方程後的權宜之計。

但我看見，你是在二維平面的深處，

執掌旋轉的隱形之手。

實數是地上的投影，刻劃著規模與長短；

而你是天空的維度，賦予了角度與靈魂。

沒有你，電能將失去頻率的律動，

沒有你，訊號將在雜訊中迷失航向。

$i$，這不只是一個符號，

它是數學對孤單直線的背叛，

是邏輯對平面自由的追求。

在 $a + bi$ 的擁抱裡，

我看見了宇宙最深沉的對稱——

那些看不見的，往往最真實。